Espai compacte

En topologia, un subconjunt ${\displaystyle K}$ d'un espai topològic ${\displaystyle X}$ es diu compacte si tot recobriment obert seu té un subrecobriment finit, és a dir, si per a tot ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$ tal que ${\displaystyle U_{i}}$ són tots oberts i ${\displaystyle \cup _{i\in I}U_{i}\supset K}$, hi ha ${\displaystyle F\subset I}$ finit tal que ${\displaystyle \cup _{i\in F}U_{i}\supset K}$. Noti's que, en particular, ${\displaystyle K}$ podria ser ${\displaystyle X}$. En aquest cas es parla d'un espai compacte. Es verifica llavors que ${\displaystyle K\subset X}$ és compacte si i només si és un espai compacte per a la topologia traça.

Que un espai sigui compacte és una propietat que intenta generalitzar la noció d'un subconjunt de l'espai euclidià tancat i fitat^[1] per mitjà de la idea que un espai no tingui "forats" i que no "faltin els punts finals", és a dir que l'espai no exclogui cap punt de "valor límit". Per exemple, l'interval "no tancat" (0,1) no seria compacte ja que exclou els valors límits de 0 i 1, que mentre que l'interval tancat [0,1] seria compacte. Similarment, l'espai de nombres racionals ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ no és compacte ja que té un nombre infinit de "forats" que corresponen als nombres irracionals, i l'espai de nombres reals ${\displaystyle \mathbb {R} }$ no és compacte ja que exclou els valors límits ${\displaystyle \infty }$ i ${\displaystyle -\infty }$. Tanmateix, la recta extensa de nombre reals seria compacte, ja que conté tots dos infinits. Hi ha moltes maneres de precisar en aquesta noció heurística. Els diferents plantejaments coincideixen en l'espai euclidià, però poden no ser equivalents en altres espais topològics.

Una d'aquestes generalitzacions és la que diu que un espai topològic és successionalment compacte si tota successió infinita de punts mostrejats en l'espai té una subsuccessió que convergeix en algun punt de l'espai.^[2] El teorema de Bolzano-Weierstrass afirma que un subconjunt de l'espai euclidià és compacte en aquest sentit successional si i només si és tancat i fitat. Per tant, si es tria un nombre infinit de punts en l'interval unitat tancat, [0, 1], alguns dels seus punts s'aproparan arbitràriament a algun nombre real en aquest espai. Per exemple, alguns dels nombres en la seqüència 1/2, 4/5, 1/3, 5/6, 1/4, 6/7, ... s'acumulen en el 0 (mentre que d'altres ho fan a l'1). El mateix conjunt de punts no s'acumularien a cap punt de l'interval unitat obert (0, 1), així doncs l'interval unitat obert no és compacte. Tot i que subconjunts (subespais) de l'espai euclidià poden ser compactes, l'espai sencer en si no és compacte ja que no és fitat. Per exemple, considerant ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$, la recta de nombres reals sencera, la successió de punts 0, 1, 2, 3, ..., no té cap subseqüència que convergeixi a cap nombre real.

La idea d'espai compacte va ser introduïda formalment per Maurice Fréchet l'any 1906 per generalitzar el teorema de Bolzano–Weierstrass d'espais de punts geomètrics a espais de funcions. El Teorema d'Arzelà–Ascoli i el teorema d'existència de Peano exemplifiquen aplicacions d'aquesta noció d'espai compacte a l'anàlisi real clàssica. Seguint la seva introducció inicial, diferents nocions equivalents d'espais compactes, inclosa la d'espai successionalment compacte i la d'espai compacte de punts límit van ser desenvolupades en espais mètrics generals.^[3] En espais topològics generals, tanmateix, aquestes nocions d'espais compactes no són necessàriament equivalents. La noció més útil -i la definició estàndard del terme espai compacte- és descrita en termes de l'existència de famílies finites de conjunts oberts que recobreixen l'espai en el sentit que tot punt de l'espai pertany a algun conjunt contingut dins de la família. Aquesta noció més subtil, introduïda per Pàvel Aleksàndrov i Pàvel Urysohn l'any 1929, presenta els espais compactes com a generalitzacions de conjunts finits.

S'utilitza sovint el terme conjunt compacte com a sinònim d'espai compacte, però sol fer referència també a subespais compactes d'espais topològics.